现代微分几何

光滑流形的定义，会用定义证明某些拓扑空间是光滑流形。

设$M$ 是$m$ 维拓扑流形，$\mathcal{A}$ 是$M$ 的一个$C^r$ 微分结构，则称$(M,\mathcal{A})$ 是一个$m$ 维$C^r$ 微分流形。特别地，$C^{\infty}$ 微分结构称为光滑结构， $C^{\infty}$ 微分流形称为光滑流形。

证明某些拓扑空间是$C^r$ 微分流形(或光滑流形)：

(1). 证明$M$是Hausdorff空间(拓扑空间上的任意两点可由其邻域分离)

(2). 证明$M$是$m$ 维拓扑流形(每一点$x$ 存在其邻域$U$, $U$是$M$上的开邻域，$U$同胚于$R^m$的开集)

(3). 构造$M$的$C^r$ 微分结构(或光滑结构)$\mathcal{A}$ ($\mathcal{A}=\{(U_{\alpha},\varphi_{\alpha})|\alpha \in I\}$，满足$U_{\alpha}|\alpha \in I$ 是M的开覆盖、$\left(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha}\right) $和 $\left(U_{\beta}, \varphi_{\beta}\right)$相容、$\mathcal{A}$是极大的)

参考例1.2和例1.6

例1.2

$\mathcal{R}^{m+1}$中的单位球面$S^m = \{(x^1,\cdots,x^{m+1})\}\in \mathbb{R}^{m+1}|\sum_{i=1}^{m+1}(x^i)^2=1$

(1).证明$S^m$是Hausdroff空间

取其拓扑为它在$\mathcal{R}^{m+1}$中的相对拓扑，则其是一个具有可数基的Hausdroff空间。

(2)证明$S^m$是拓扑流形

(i)相对开集的选取：

记

$\begin{array}{c} \bar{U}_{i}^{+}=\left\{\left(x^{1}, \cdots, x^{m+1}\right) \mid x^{i}>0\right\} \\ \bar{U}_{i}^{-}=\left\{\left(x^{1}, \cdots, x^{m+1}\right) \mid x^{i}<0\right\}, \quad i=1, \cdots, m+1 \end{array}$

他们都是$\mathcal{R}^{m+1}$ 中的开集，则相对开集$U_{i}^{\pm}=\bar{U}_{i}^{\pm} \cap S^{m}(i=1, \cdots, m+1)$ 构成$S^m$ 的开覆盖。

(ii)每一个相对开集与$ R^m$中的开集同胚

如下定义$\varphi_{i}^{\pm}:U_{i}^{\pm} \to \mathcal{R}^m$

$\varphi_{i}^{\pm}\left(x_{1}, \cdots, x^{m+1}\right)=\left(x_{1}, \cdots, x^{i}, \cdots, x^{m+1}\right)$

其中^表示 去掉该坐标，易见这些映射分别是$U_{i}^{\pm}$到$\mathbb{R}^m$的开集

$W_{i}=\left\{\left(x_{1}, \cdots, \hat{x}^{i}, \cdots, x^{m+1}\right) \in \mathbb{R}^{m} \mid\left(x^{1}\right)^{2}+\cdots+\left(\hat{x}^{i}\right)^{2}+\cdots+\left(x^{m+1}\right)^{2}<1\right\}$

的同胚，因此$S^m$是$m$维拓扑流形。

(3)证明光滑结构，开覆盖在(2)中满足，关键是证明坐标卡的相容性

考虑$\varphi_{2}^{-} \circ\left(\varphi_{1}^{+}\right)^{-1}: \varphi_{1}^{+}\left(U_{2}^{-} \cap U_{1}^{+}\right) \rightarrow \varphi_{2}^{-}\left(U_{2}^{-} \cap U_{1}^{+}\right)$

$\varphi_{2}^{-} \circ\left(\varphi_{1}^{+}\right)^{-1}\left(x^{2}, \cdots, x^{m+1}\right)=\varphi_{2}^{-}\left(\left[1-\sum_{i=2}^{m+1}\left(x^{i}\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}, x^{2}, \cdots, x^{m+1}\right)=\left(\left[1-\sum_{i=2}^{m+1}\left(x^{i}\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}, x^{3}, \cdots, x^{m+1}\right)$

若用$(u^1,\cdots,u^m)$记$U^+_1$ 上点的坐标，用$(u^1,\cdots,u^m)$记$U^-_2$上点的坐标，则$\varphi_{2}^{-} \circ\left(\varphi_{1}^{+}\right)^{-1}$的坐标表达式为

$v^{1}=\left[1-\sum_{i=1}^{m}\left(u^{i}\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}, \quad v^{l}=u^{l}, l=2, \cdots, m$

显然$v^i(i=1,\cdots,m)$是$u^j(j=1,\cdots,m)$的光滑函数，从而坐标卡$(U^+_1,\varphi^+_1)$ 和$(U^-_2,\varphi^-_2)$是$C^\infty$相容的，同理可证，坐标卡$(U^{\pm}_i,\varphi^{\pm}_i)$是

$C^\infty$相容的，$S^m$是$m$维光滑流形。

例1.6

$m$维实射影空间$\mathbb{R}P^m$

用$\mathbb{R}P^m$表示$\mathbb{R}^{m+1}$中过原点的直线的集合，下面在$\mathbb{R}P^m$上引入微分结构，使之成为一个$m$维光滑流形。

(1) 证明$\mathbb{R}P^m$是拓扑流形

(i) 拓扑关系的构建

首先在$X = \mathbb{R}^{m+1} \backslash {0}$ 上定义等价关系$\thicksim$如下：

对任意$x = (x^1,\cdots,x^{m+1}),y = (y^1,\cdots,y^{m+1}),x\sim y$ 当且仅当存在非零实数$\lambda$，使得$y = \lambda x$，易见$\mathbb{R}P^m$ 可以等同$X$ 关于等价关系$\sim$ 的商空间，即

$\mathbb{R}P^m = X/\sim$

用$[x]$表示点$x = (x^1,\sim,x^{m+1})\in X$ 所在的等价类，则有

$\mathbb{R} P^{m}=\left\{[x] \mid x=\left(x^{1}, \cdots, x^{m+1}\right) \in X\right\}$

商映射记作$\pi$ ，$\mathbb{R}P^m$上的拓扑为商拓扑，即$U \subset \mathbb{R}P^m$为开集当且仅当$\pi^{-1}(U)$是$X$的开集。通常把$x$的坐标$(x^1,\cdots,x^{m+2})$称为$\mathbb{R}P^m$ 中点$[x]$的齐次坐标，显然，一个点的齐次坐标不是唯一的，并且当$x^{\alpha}\ne 0$ s时，总有

$\left[\left(x^{1}, \cdots, x^{m+1}\right)\right]=\left[\left(x^{1} / x^{\alpha}, \cdots, x^{\alpha-1} / x^{\alpha}, 1, x^{\alpha+1} / x^{\alpha}, \cdots, x^{m+1} / x^{\alpha}\right)\right]$

(ii)开集、有限开覆盖选取，与$\mathbb{R}^m$ 的同胚关系证明

如下定义$\mathbb{R}P^m$ 的$m+1$个开子集

$V_{\alpha}=\left\{\left[\left(x^{1}, \cdots, x^{m+1}\right)\right] \in \mathbb{R} P^{m} \mid x^{\alpha} \neq 0\right\}, \alpha=1, \cdots, m+1$

并定义映射

$\varphi_{\alpha}: V_{\alpha} \rightarrow \mathbb{R}^{m}, \alpha=1, \cdots, m+1$

为

$\left(\xi^{1}, \cdots, \xi^{m}\right)=\varphi_{\alpha}\left(\left[\left(x^{1}, \cdots, x^{m+1}\right)\right]\right)=\left(x^{1} / x^{\alpha}, \cdots, x^{\alpha-1} / x^{\alpha}, x^{\alpha+1} / x^{\alpha}, \cdots, x^{m+1} / x^{\alpha}\right)$

其中$[(x^1,\cdots,x^{m+1})]\in V_{\alpha}$ .易见$\varphi_{\alpha}$是完全确定的，并且是从$V_{\alpha}$到$\mathbb{R}^m$的同胚。

(2)光滑结构的证明

所以$(V_{\alpha},\varphi_{\alpha})$是$\mathbb{R}P^m$ 的一个坐标卡，相应的局部坐标$\left(\boldsymbol{\eta}^{1}, \cdots, \boldsymbol{\eta}^{m}\right)$ 通常称为$\mathbb{R}P^m$的非齐次坐标，当$V_{\alpha} \cap V_{\beta} \ne \emptyset$时(不妨设$\alpha > \beta$)

,局部坐标变换

$\left(\eta^{1}, \cdots, \eta^{m}\right)=\varphi_{\beta} \circ \varphi_{\alpha}^{-1}\left(\xi^{1}, \cdots, \xi^{m}\right), \xi^{\beta} \neq 0$

为

$\begin{aligned} \eta^{1} &=\xi^{1} / \xi^{\beta}, \cdots, \eta^{\beta-1}=\xi^{\beta-1} / \xi^{\beta}, \eta^{\beta}=\xi^{\beta+1} / \xi^{\beta}, \cdots \\ \eta^{\alpha-2} &=\xi^{\alpha-1} / \xi^{\beta}, \eta^{\alpha-1}=1 / \xi^{\beta}, \eta^{\alpha}=\xi^{\alpha} / \xi^{\beta}, \cdots, \eta^{m}=\xi^{m} / \xi^{\beta} \end{aligned}$

他们都是$(\xi^1,\cdots,\xi^m)$的光滑函数，因而

$\varphi_{\beta} \circ \varphi_{\alpha}^{-1}: \varphi_{\alpha}\left(V_{\alpha} \cap V_{\beta}\right) \rightarrow \varphi_{\beta}\left(V_{\alpha} \cap V_{\beta}\right)$

是光滑映射，从而$\{(V_{\alpha},\varphi_{\alpha})|\alpha = 1,\cdots,m+1\}$是$\mathbb{R}P^m$上的一个光滑结构，使得$\mathbb{R}P^m$为一个$m$维光滑流形，称之为$m$ 维实射影空间。

浸入、嵌入和淹没的概念，并举例说明

浸入： $M$ 和$N$ 都是光滑流形，$f:M \to N$ 是光滑映射。如果$f$ 在点$p \in M$ 的秩等于$M$ 的维数，则称映射$f$ 在$p$ 点为浸入。如果$f$ 在$M$ 的每一点都是浸入，则称$f$ 为浸入。

嵌入：设$f:M \to N$ 是单浸入，如果对于$f(M) \subset N$ 的子空间拓扑，$f:M \to f(M)$ 是同胚，则称$f$ 为嵌入，$f(M)$ 为$N$ 的嵌入子流形。

淹没：设$M,N$ 分别为$m$ 维和$n$ 维光滑流形，$m>n$ 。如果光滑映射$f:M^m \to N^n$ 在点$p \in M $ 的秩等于$N$ 的维数，则称映射$f$ 在$p$ 点为淹没。如果$f$ 在$M$ 的每一点都是淹没，则称$f$ 为淹没。

参考例1.7，例1.8，例1.9，例1.10

(1). 对于正整数$m,n,m<n$ ，有包含映射$f: M^m \to N^n,f(x^1,\cdots,x^m)=(x^1,\cdots,x^m,0,\cdots,0)$，则$f$是浸入，称为典型浸入。

(2). 设$f：\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$定义为$(t)=\left(2 \cos \left(t-\frac{\pi}{2}\right), \sin 2\left(t-\frac{\pi}{2}\right)\right)$ ，容易验证映射$f$为浸入。

(3). 设$U \subset \mathbb{R}^m$ 是开子集，$g:U \to \mathbb{R}^k(k<m)$ 定义为：

$f\left(x^{1}, \cdots, x^{k}, x^{k+1}, \cdots, x^{m}\right)=\left(x^{1}, \cdots, x^{k}\right)$

则$f$ 是淹没，称为典型淹没

(4). 设$f: \mathbb{R}^m - {0} \to \mathbb{R}$定义为$f\left(x^{1}, \cdots, x^{m}\right)=\sum_{i=1}^{m}\left(x^{i}\right)^{2}$ ，映射$f$ 在$\mathbb{R}^m - {0}$ 的所有点处秩为1，所以映射$f$ 为淹没。

单位分解的概念，单位分解定理

设$I$ 为自然数集，若光滑流形$M$ 上的一族光滑函数$\{f_i|i \in I\}$ 满足下列性质：

• 对于任一点$p \in M,f_i(p) \ge 0$
• 对于任一点$p \in M,\sum_i f_i(p) = 1$
• $\{supp(f_i)\}$ 为$M$ 的局部有限的覆盖(支集，定义为使得$f(p) \ne 0$的点集的闭包)

则称$\{f_i|i \in I\}$ 为$M$ 上的单位分解。

单位分解定理： 设$M$ 为具有可数基的$m$ 维光滑流形，$\{(U_i,\varphi_i;V_i)\}$ 为$M$ 的正则覆盖(局部有限覆盖，加细)，则存在单位分解$\{f_i\}$ ，使得在$V_i$ 上$f_i > 0$，且$supp(f_i) \subset \varphi_i^{-1}(\bar{B_{3/4}^m(0)})$ 。

外积的定义及其性质：

设$\xi$ 是外$k$ 次向量(反对称的$k$ 阶反变张量)，$\eta$ 是外$l$ 次向量，令

$\xi \wedge \eta = \frac{(k+l)!}{k!l!}A_{k+l}(\xi \otimes \eta)$

其中$A_{k+l}$ 是反对称化算子，则$\xi \wedge \eta$ 是外$k+l$ 次向量，称为外向量$\xi$ 和$\eta$ 的外积。

性质：

外积是双线性的，且满足下列运算规律：

• （分配律）$\left(a \xi_{1}+b \xi_{2}\right) \wedge \eta=a \xi_{1} \wedge \eta+b \xi_{2} \wedge \eta, \quad \xi \wedge\left(a \eta_{1}+b \eta_{2}\right)=a \xi \wedge \eta_{1}+b \xi \wedge \eta_{2}$
• （反交换律）$\xi \wedge \eta=(-1)^{k l} \eta \wedge \xi$
• （结合律）$(\xi \wedge \eta) \wedge \zeta=\xi \wedge(\eta \wedge \zeta)$

其中$\xi, \xi_{1}, \xi_{2} \in \Lambda^{k}(V), \eta, \eta_{1}, \eta_{2} \in \Lambda^{l}(V), \zeta \in \Lambda^{h}(V), a, b \in F$

推论

• 设$\xi \in A^1(V) = V$，则$\xi \wedge \xi = 0$

• 设$\{e_1,\cdots,e_n\}$ 是$V$ 的一组基，则：

  $e_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge e_{i_{r}}=r ! A_{r}\left(e_{i_{1}} \otimes \cdots \otimes e_{i_{r}}\right)$

  其中$1 \le i_1, \cdots, i_r \le m$

• 向量$v_1,\cdots,v_r \in V$ 线性相关的充要条件是

$v_1 \wedge \cdots v_r = 0$

Cartan引理的内容及其证明：

设$v_1,\cdots,v_r;w_1,\cdots,w_r$ 是$V$ 中两组向量，$r \le n = dimV$ ,满足

$\sum_{\alpha = 1}^{r} v_{\alpha} \wedge w_a = 0 \tag{1}$

如果$v_1,\cdots,v_r$ 线性无关，则$w_{\alpha}$ 可表示成它们的线性组合

$w_{\alpha} = \sum_{\beta = 1}^r a_{\alpha \beta}v_{\beta}， \qquad 1 \le \alpha \le r$

且$a_{\alpha \beta} = a_{\beta \alpha}$

证明：

因为$v_1,\cdots,v_r \in V$ 线性无关，则可将他们扩充为$V$ 的一组基$\{v_1, \cdots, v_{r-1}, v_r, v_{r+1}, \cdots, v_n\}$.

则可设

$w_{\alpha}=\sum_{\beta=1}^{r} a_{\alpha \beta} v_{\beta}+\sum_{i=r+1}^{n} a_{\alpha i} v_{i}$

把上式带入$(1)$ 得：

$\begin{aligned} 0 &=\sum_{\alpha, \beta=1}^{r} a_{\alpha \beta} v_{\alpha} \wedge v_{\beta}+\sum_{\alpha=1}^{r} \sum_{i=r+1}^{n} a_{\alpha i} v_{\alpha} \wedge v_{i} \\ &=\sum_{1 \leq \alpha<\beta \leq r}\left(a_{\alpha \beta}-a_{\beta \alpha}\right) v_{\alpha} \wedge v_{\beta}+\sum_{\alpha=1}^{r} \sum_{i=r+1}^{n} a_{\alpha i} v_{\alpha} \wedge v_{i} \end{aligned}$

因$v_i \wedge v_j,1 \le i < j \le n$ 是$\Lambda^{2}(V)$ 的一组基，故：

$a_{\alpha \beta}-a_{\beta \alpha}=0, a_{\alpha i}=0$

即

$w_{\alpha}=\sum_{\beta=1}^{r} a_{\alpha \beta} v_{\beta}, \quad 1 \leq \alpha \leq r$

且$a_{\alpha \beta} = a_{\beta \alpha}$

李括号（Poisson括号）的定义及其性质：

设$M$ 为光滑流形，对任意$X,Y \in \Gamma(TM)$，定义$[X,Y]:C^{\infty}(M) \to \mathbb{R}$ 为

$[X, Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))$

称$[X,Y]$ 为$X,Y$ 的李括号或Poisson括号。

注：

$\Gamma(TM)$:$M$上所有光滑切向量场$X: M \to TM$的集合

$TM= \{(p,v)|p \in M, v\in T_pM\}$（$T_pM$ 为切空间）

$f$：$X \in \Gamma (TM),f \in C^{\infty}(M),p \in M$ 则$(fX)(p)=f(p)X(p)$

光滑向量场的李括号具有下面的性质：

1. 设$M$ 为光滑流形，则对任意$X,Y \in \Gamma(TM),f,g \in C^{\infty}(M), \lambda,\mu \in \mathbb{R}$ ，有

• $[X, Y](\lambda \cdot f+\mu \cdot g)=\lambda \cdot[X, Y](f)+\mu \cdot[X, Y](g)$
• $[X, Y](f \cdot g)=[X, Y](f) \cdot g+f \cdot[X, Y](g)$

2. 设$M$ 是光滑流形，$[,]$ 是李括号，则

$\begin{array}{l} {[X, f \cdot Y]=X(f) \cdot Y+f \cdot[X, Y]} \\ {[f \cdot X, Y]=f \cdot[X, Y]-Y(f) \cdot X} \end{array}$

​ 其中$X,Y \in \Gamma(TM),f \in C^{\infty}(M)$

李群的定义，并举例说明

设$G$ 是一个群，并且是$m$ 维光滑流形。如果$G$ 的乘法运算$\varphi: G \times G \to G, \varphi(g_1,g_2) = g_1 g_2$ 以及求逆运算$\tau: G \to G, \tau(g) = g^{-1}$ 都是光滑映射，则称$G$ 是一个$m$ 维李群。

举例：例2.2，例2.3

$R^m$ 关于向量加法成为一个$m$ 维李群。

实矩阵构成的一般线性群$GL(m,\mathbb{R})$ 和$GL(m,\mathbb{C})$ 都是李群($GL(m,\mathbb{R})$表示$m$阶非退化实矩阵构成的集合)。

$GL(m,\mathbb{R})$是$m$阶非退化实矩阵构成的集合，群运算是矩阵的乘法，因为$GL(m,\mathbb{R})$ 是$\mathbb{R}^{m^2}$ 的开子集，有自然诱导的光滑结构，容易验证矩阵的乘法运算和求逆运算都是光滑映射，所以$GL(m,\mathbb{R})$ 是$m^2$ 维李群。类似$GL(m,\mathbb{C})$是$2m^2$ 维李群。

**设$(G,*)$ 和 $(H,\centerdot)$是两个李群，证明乘积流形 $G\times H $ 有李群的结构 **

$G,H$是李群, $\to G,H$ 是光滑流形,$G \times H$ 是光滑流形。

定义$G \times H=\{(g,h)|g \in G, h \in H\}$

在其上定义的乘法运算$\varphi: (G\times H) \times (G \times H) \to (G \times H):\quad \varphi((g_1,h_1),(g_2,h_2)) = (g_1 * g_2,h_1\centerdot h_2)$

以及求逆运算$\tau: (G \times H) \to (G \times H): \quad \tau((g,h)) = (g^{-1},h^{-1})$ 都是光滑映射

从而乘积流形 $G\times H $ 有李群的结构

Poincare引理及其证明，以及它在古典向量分析中的应用

$d^2 = 0$，即对任意的外微分式$w$ ，有$d(dw) = 0$

**证明：**因为$d$ 是线性算子，所以只需取$w$ 为单项式即可。由于外微分$d$ 是局部算子，故只需在一个局部坐标系$(U,\varphi;x_i)$ 中讨论，设

$\omega=f d x^{1} \wedge \cdots \wedge d x^{r}, f \in C^{\infty}(M)$

则

$d \omega=d f \wedge d x^{1} \wedge \cdots \wedge d x^{r}$

再外微分一次，得

$d(d \omega)=d(d f) \wedge d x^{1} \wedge \cdots \wedge d x^{r}-d f \wedge d\left(d x^{1}\right) \wedge \cdots \wedge d x^{r}+\cdots=0$

注：$M$上的外向量丛和外形式丛分别记作$\Lambda^r(M)=\cup_{p \in M} \Lambda^{r}\left(T_{p} M\right)$ 和 $\Lambda^{r}\left(M^{*}\right)=\bigcup_{p \in M} \Lambda^{r}\left(T_{p}^{*} M\right)$

用$A^r(M)$记$r$次外形式丛$\Lambda^r(M^*)$的光滑截面构成的空间，即$A^{r}(M)=\Gamma\left(\Lambda^{r}\left(M^{*}\right)\right)$

截面空间$A(M)$的元素称为$M$的外微分式，$A(M)=\sum_{r=0}^{m} A^{r}(M)$

证明过程中用到的性质：

若$w_1$是$r$次外微分式，则$d\left(\omega_{1} \wedge \omega_{2}\right)=d \omega_{1} \wedge \omega_{2}+(-1)^{r} \omega_{1} \wedge d \omega_{2}$

若$f \in A^0(M)$, 则$d(df)=0$

Poincare引理在古典向量分析中的应用：

1. 设$(x,y,z)$ 是$\mathbb{R}^3$ 上的光滑函数，则

$d f=\frac{\partial f}{\partial x} d x+\frac{\partial f}{\partial y} d y+\frac{\partial f}{\partial z} d z$

​ 其系数构成的向量场$\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$ 是$f$ 的梯度场$grad f$.

2. 设$w = A dx + Bdy + Cdz$ ,其中$A,B,C$ 是$\mathbb{R}^3$ 上的光滑函数，则

$\begin{aligned} d \omega &=d A \wedge d x+d B \wedge d y+d C \wedge d z \\ &= (\frac{\partial A}{\partial x}dx + \frac{\partial A}{\partial y}dy + \frac{\partial A}{\partial z}dz) \wedge dx + (\frac{\partial B}{\partial x}dx + \frac{\partial B}{\partial y}dy + \frac{\partial C}{\partial z}dz) \wedge dy + (\frac{\partial C}{\partial x}dx + \frac{\partial C}{\partial y}dy + \frac{\partial C}{\partial z}dz) \wedge dz\\ &=\left(\frac{\partial C}{\partial y}-\frac{\partial B}{\partial z}\right) d y \wedge d z+\left(\frac{\partial A}{\partial z}-\frac{\partial C}{\partial x}\right) d z \wedge d x+\left(\frac{\partial B}{\partial x}-\frac{\partial A}{\partial y}\right) d x \wedge d y \end{aligned}$

​ 若记向量场$X = (A,B,C)$ ，则$dw$ 的系数构成的向量场

$\left(\frac{\partial C}{\partial y}-\frac{\partial B}{\partial z}, \frac{\partial A}{\partial z}-\frac{\partial C}{\partial x}, \frac{\partial B}{\partial x}-\frac{\partial A}{\partial y}\right)$

​ 恰是向量场$X$ 的旋度$curl X$

3. 设$\omega=A d y \wedge d z+B d z \wedge d x+C d x \wedge d y$ ，则

$\begin{aligned} d \omega &= dA \wedge dy \wedge dz + dB \wedge dz \wedge dx + dC \wedge dx \wedge dy\\ &= \frac{\partial A}{\partial x} dx \wedge dy \wedge dz + \frac{\partial B}{\partial y} dy \wedge dz \wedge dx + \frac{\partial C}{\partial z} dz \wedge dx \wedge dy\\ &=\left(\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}\right) d x \wedge d y \wedge d z \\ &=\operatorname{div} d x \wedge d y \wedge d z \end{aligned}$

​ 其中$X=(A,B,C),divX$ 表示向量场$X$ 的散度。

由Poincare定理，立即得到古典场论的两个基本公式：$curl(grad f) = 0, \quad div(curl X)=0$

流行定向的概念

设$M$ 是一个微分流形，如果在$M$ 上存在一族容许局部坐标系$\mathscr{U}=\left\{\left(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha}\right) \mid \alpha \in I\right\}$ 满足下面两个条件：

(1). $\bigcup_{\alpha \in I} U_{\alpha}=M$

(2). 对任意两个局部坐标系$U_{\alpha},\varphi_{\alpha};x^i$ 和$U_{\beta},\varphi_{\beta};y^i$, $U_{\alpha} \bigcap U_{\beta} = \emptyset$ 时，在$U_{\alpha} \bigcap U_{\beta}$ 上有

$\frac{\partial\left(x_{\alpha}^{1}, \cdots, x_{\alpha}^{m}\right)}{\partial\left(y_{\beta}^{1}, \cdots, y_{\beta}^{m}\right)}>0$

则称$M$ 是可定向微分流形。满足(2)条件的两个局部坐标系$U_{\alpha},\varphi_{\alpha};x^i$和$U_{\beta},\varphi_{\beta};y^i$ 称为定向相符的。

设 $M$ 是可定向的 $m$ 维微分流形，如果$\mathscr{U}=\left\{\left(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha}\right) \mid \alpha \in I\right\}$ 是满足上面两个条件的一族局部坐标系，并且满足：

(3). $\mathscr{U}$是极大的，即对任意的容许局部坐标系$U;x^i$ ，如果对于任意的$\alpha \in I$, $(U;x^i)$和$U_{\alpha};x^i_{\alpha}$都是定向相符的，便有$(U;x^i) \in \mathscr{U}$ 则称$\mathscr{U}$是 $M$ 的一个定向。具有指定定向的微分流形称为定向微分流形。

或通过外微分式给出等价的定义

$m$维光滑流形 $M$ 称为可定向的，如果在 $M$ 上存在一个连续的，处处不为零的$m$ 次外微分式。如果在$M$上给定了这样一个外微分式，则称$M$是定向的。如果给出$M$ 定向的两个外微分式彼此差一个处处为正的函数因子，则称他们规定了$M$的一个方向。

流形上外微分式的积分如何定义

设$M$ 是$m$ 维定向的光滑流形，$\varphi$ 是$M$ 上有紧致支集的$m$ 次微分式，由

$\int_{M} \varphi=\sum_{\alpha} \int_{M} g_{\alpha} \cdot \varphi$

所定义的数$\int_{M} \varphi$ 称为外微分式$\varphi$ 在$M$ 上的积分。

注：任取$M$ 的一个定向相符的坐标卡构成的覆盖$\Sigma = \{W_i\}$， 设$\{g_{\alpha}\}$ 是从属于$\Sigma$ 的单位分解，则$\varphi=(\sum_{\alpha}g_{\alpha}) \centerdot \varphi = \sum_{\alpha}(g_{\alpha} \centerdot \varphi)$

用实例解释说明流形上的Stocks公式

设$M$ 是$m$ 维定向光滑流形，$w$ 是$M$ 上具有紧致支集的$m-1$ 次外微分式，则

$\int_{\partial M} \omega=\int_{M} d \omega$

若$\partial M = \emptyset$, 则规定左边的积分是零。

参考例3.4

设$\Sigma$ 是$\mathbb{R}^3$ 中的一块定向曲面，其边界$\partial \Sigma$ 为定向闭曲线，而且$\partial \Sigma$ 的正向法向量符合右手法则。设$P,Q,R$ 是包含在$\Sigma$ 在内的一个区域上的连续可微函数，则有Stocks公式：

$\int_{\partial \Sigma} P d x+Q d y+R d z=\iint_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) d y d z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) d z d x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y$

若记$w = Pdx+Qdy+Rdz$，则上式可以写成

$\int_{\partial \Sigma} \omega=\int_{\Sigma} d \omega\\$

叙述Brouwer映射度的定义和性质， 并利用Brouwer映射度证明6维单位球面$S^6$上的恒同映射和对径映射不同伦

定义

设$p \in M$ 是光滑映射$f: M^n \to N ^n$ 的一个正则点，$M$ 是紧致光滑的定向流形，$N$ 是连通光滑的定向流形，则切映射$f_{*p}:T_pM \to T_{f(p)}N$ 为定向向量空间之间的线性同构，根据同构保持定向或反转定向，我们定义$f_{*p}$ 的符号，以及在$p$ 处的度数$deg_pf$ 和正则点的类型如下：

同构$f_{*p}$	$f_{*p}$ 的符号	$deg_pf$	类型
保持定向	+1	+1	正型
反转定向	-1	-1	负型

进而，对于$f$ 的正则值$q \in N$，定义

$\operatorname{deg}(f, q)=\sum_{p \in f^{-1}(q)} \operatorname{deg}_{p} f$

称之为$f$ 关于正则值$q$ 的Brouwer度。

整数$deg(f,q)$ 不依赖于正则值$q$ 的选取，把整数$deg(f,q)$ 称为映射$f$ 的Brouwer度或映射度，记为$deg(f)$ 。

性质

设$M,N,P$ 是具有相同维数的定向光滑流形，且$M$ 和$N$ 紧致，$N$ 和$P$ 连通,则

(1). 若$f: M \to N$ 和$g: N \to P$ 为光滑映射，则$\operatorname{deg}(g \circ f)=\operatorname{deg}(g) \cdot \operatorname{deg}(f)$ ；

(2). 若$id: M \to M$ 为恒同映射，则$deg(id)=1$，即恒同映射的映射度为1；

(3). 若$f: M \to N$ 为微分同胚，则$deg(f)= \pm 1$ ；

(4). 若$f,g: M \to N$ 为$C^{\infty}$ 映射，且$f$ 同伦于$g$， 则$deg(f)= deg(g)$，即映射度是同伦不变量。

证明

参考例3.5

例3.5考虑$n$ 单位球面$S^n(n \ge 1)$上的恒同映射和对径映射.显然，$S^n$ 上的恒同映射的Brouwer 度为1.我们定义$S$上的反射$r_i:S_n \to S_n$为

$r_i:(x_1,\cdots,x_{n+1})=(x_1,\cdots ,x_{i-1},-x_i,x{i+1},\cdots,a_{n+1}),i=1,\cdots ,n+1$

它是一个反转定向的微分同胚，故其映射度$deg(r_i)=-1$. $S_n$ 上的对径映射$r: S^n \to S^n$ 定义为 $r(x)=-x$，它可以看成是$n+1$个反射的复合，即$r=r_{1} \circ r_{2} \circ \cdots \circ r_{n+1}$,其映射度为

$\operatorname{deg}(r)=\operatorname{deg}\left(r_{1}\right) \operatorname{deg}\left(r_{2}\right) \cdots \operatorname{deg}\left(r_{n+1}\right)=(-1)^{n+1}$

当n为偶数时，$deg(r)=-1$，故$S^n$ 上的对径映射和恒同映射不同伦.

黎曼度量的定义。证明：任意光滑流形上都存在黎曼度量。

设$M$ 是$m$ 维光滑流形，$M$ 上的一个黎曼度量$g$ 是$M$ 上的一个光滑的二阶协变张量场，使得对每一点$p \in M,g(p)$ 是切空间$T_p(M)$ 上的一个对称，正定的二阶协变张量$(M,g)$ 称为$m$ 维黎曼流形。

注：$g(p) \in T_p^*M \otimes T_p^*M:T_p(M) \times T_p(M) \to \mathbb{R}$

证明：定理4.1

设$M$ 是一个满足第二可数公理的$m$ 维光滑流形，则在$M$ 上必存在黎曼度量。

证明: 由于在流形的每一个局部坐标邻域上都可以给定一个黎曼度量。非常自然的想法就是利用单位分解定理，把这些局部定义的黎曼度量拼接成为流形M上的一个黎曼度量。

(1). 取定局部坐标邻域与单位分解，在每一个局部邻域上给定黎曼度量

由于M满足第二可数公理，可取$M$的一个局部有限的坐标覆盖$\{U_{\alpha};x^i_{\alpha}|\alpha \in I\}$，其中$I$是自然数集。由单位分解定理，存在$M$上的光滑函数族$\{f_a\}$，使得对任意的$a \in I$，有

$\operatorname{supp} f_{\alpha} \subset U_{\alpha}, \quad 0 \leq f_{\alpha} \leq 1, \sum_{\alpha \in I} f_{\alpha}=1$

对于每一个$\alpha \in I$，在$U_{\alpha}$ 上定义黎曼度量

$g^{(\alpha)}=\sum_{i=1}^{m} d x_{\alpha}^{i} \otimes d x_{\alpha}^{i}$

(2). 将局部定义的黎曼度量拼接

利用$g^{(\alpha)}$, 在$M$ 上如下定义二阶协变张量场$g_{\alpha}$，对任意$p \in M$，令

$g_{\alpha}(p)=\left\{\begin{array}{c}f_{\alpha}(p) \cdot g^{(\alpha)}(p), p \in U_{\alpha} \\ 0, p \notin U_{\alpha}\end{array}\right.$

由于$f_{\alpha}\centerdot g^{(\alpha)}$ 在$U_{\alpha}$ 上光滑，且$Suppg_{\alpha} \in Suppf_{\alpha} \in U_{\alpha}$，易见$g_{\alpha}$ 是大范围定义在$M$上的光滑张量场

令

$g=\sum_{\alpha} g_{\alpha}$

根据覆盖$\{U_{\alpha}|\alpha \in I\}$ 的局部有限性，上式右端在每一点$p \in M$的某个邻域上是有限多项之和.所以$g$ 是大范围定义在$M$ 上的光滑，对称二阶协变张量场.

(3). 证明正定

下面证明$g$ 正定.对任意一点$ p \in M$ ，由于

$0 \leq f_{\alpha} \leq 1, \sum_{\alpha \in I} f_{\alpha}=1$

必有$\beta \in I$， 使得$f_{\beta}(p) > 0$ 。则对任意的$v \in T_p(M)$，有

$(g(p))(v, v)=\sum_{\alpha} f_{\alpha}(p) \cdot g^{\alpha}(v, v) \geq f_{\beta}(p) \sum_{i=1}^{m}\left(d x_{\beta}^{i}(v)\right)^{2} \geq 0$

当$(g(p))(v,v)=0$ 时，因为$f_{\beta} > 0$ ，所以

$d x_{\beta}^{i}(v)=0,1 \leq i \leq m$

即$v=0$ ，因此$g$ 是正定的，从而$g$ 是$M$ 上的一个黎曼度量。

向量丛上联络的定义

向量丛$E$上的联络是一个满足下列条件的映射:

$\nabla: \Gamma(E) \rightarrow \Gamma\left(T^{*}(M) \otimes E\right)$

(1). 对任意的$s_1,s_2 \in \Gamma(E)$，有

$\nabla\left(s_{1}+s_{2}\right)=\nabla s_{1}+\nabla s_{2}$

(2). 对任意的$s \in \Gamma(E)$ 以及任意的$f \in C^{\infty}(M)$，有$\nabla(f s)=d f \otimes s+f \nabla s$

注：$\Gamma(E):$ 光滑向量场，$E$的全体光滑截面的集合

$E$ 是$M$ 维光滑流形$M$ 上的一个$n$ 维向量丛

$T^*(M)$ 为$M$ 的切丛。

什么是Levi-Civita联络？设$(M,g)$ 是一个黎曼流形，证明Levi-Civita联络 $\nabla$ 是$M$ 的切从$TM$ 上的联络。

设$(M,g)$ 是黎曼流形，则通过下式定义的映射$\nabla: \Gamma(T M) \times \Gamma(T M) \rightarrow \Gamma(T M)$

$g\left(\nabla_{X} Y, Z\right)=\frac{1}{2}\{X(g(Y, Z))+Y(g(Z, X))-Z(g(X, Y))+g(Z,[X, Y])+g(Y,[Z, X])-g(X,[Y, Z])\}$

称为$M$ 上的黎曼联络，或Levi-Civita联络

证明：参考定理4.7

对任意$X,Y_1,Y_2,Z \in \Gamma(TM),\lambda,\mu \in \mathbb{R}$，根据李括号的定义，并利用$g$ 是一个张量场易得

$\begin{array}{c} g\left(\nabla_{X}\left(\lambda \cdot Y_{1}+\mu \cdot Y_{2}\right), Z\right)=\lambda \cdot g\left(\nabla_{X} Y_{1}, Z\right)+\mu \cdot g\left(\nabla_{X} Y_{2}, Z\right) \\ g\left(\nabla_{Y_{1}+Y_{2}} X, Z\right)=g\left(\nabla_{Y_{1}} X, Z\right)+g\left(\nabla_{Y_{2}} X, Z\right) \end{array}$

进一步，对任意的$f \in C^{\infty}(M)$，有

$\begin{aligned} g\left(\nabla_{X} f Y, Z\right)=& \frac{1}{2}\{X(f \cdot g(Y, Z))+f \cdot Y(g(Z, X))-Z(f \cdot g(X, Y))\\ &+g(Z,[X, f \cdot Y])+f \cdot g(Y,[Z, X])-g(X,[f \cdot Y, Z])\} \\ =& \frac{1}{2}\{X(f) \cdot g(Y, Z)+f \cdot X(g(Y, Z))+f \cdot Y(g(Z, X))\\ &-Z(f) \cdot g(X, Y)-f \cdot Z(g(X, Y))+g(Z, X(f) \cdot Y+f \cdot[X, Y]) \\ &+f \cdot g(Y,[Z, X])-g(X,-Z(f) \cdot Y+f \cdot[Y, Z])\} \\ =& X(f) \cdot g(Y, Z)+f \cdot g\left(\nabla_{X} Y, Z\right) \\ =& g\left(X(f) \cdot Y+f \cdot \nabla_{X} Y, Z\right) \end{aligned}$

以及

$\begin{aligned} g\left(\nabla_{f \cdot X} Y, Z\right)=& \frac{1}{2}\{f \cdot X(g(Y, Z))+Y(f \cdot g(Z, X))-Z(f \cdot g(X, Y))+g(Z,[f \cdot X, Y])\\ &+g(Y,[Z, f \cdot X])-f \cdot g(X,[Y, Z])\} \\ =& \frac{1}{2}\{f \cdot X(g(Y, Z))+Y(f) \cdot g(Z, X)+f \cdot Y(g(Z, X))\\ &-Z(f) \cdot g(X, Y)-f \cdot Z(g(X, Y))+g(Z,-Y(f) \cdot X) \\ &+g(Z, f \cdot[X, Y])+g(Y, Z(f) \cdot X)+f \cdot g(Y,[Z, X])-f \cdot g(X,[Y, Z])\} \\ =& f \cdot g\left(\nabla_{X} Y, Z\right) \end{aligned}$

证毕

曲率张量的定义以及性质

设 $( (M, \nabla) )$ 是 $m$ 维仿射联络空间. 对任意的 $ X, Y, Z \in \Gamma(T M)$, 定义 $R(X, Y): \Gamma(T M) \rightarrow \Gamma(T M)$ 为

$R(X, Y) Z=\nabla_{X, Y}^{2} Z-\nabla_{Y, X}^{2} Z=\nabla_{X} \nabla_{Y} Z-\nabla_{Y} \nabla_{X} Z-\nabla_{[X, Y]} Z$

称$R(X,Y)$为仿射联络空间$(M,\nabla)$ 关于光滑切向量场$X,Y$的曲率算子.$R$ 是一个$(1,3)$型的光滑张
量场,称为仿射联络空间$(M,\nabla)$ 的曲率张量

设$(M,\nabla)$ 为仿射联络空间，则对任意的$X,Y \in \Gamma(TM)$，曲率算子$R(X,Y)$ 具有下面的性质：

• $R(X, Y)=-R(Y, X) $
• $R(f X, Y)=R(X, f Y)=f R(X, Y)$
• $ R(X, Y)(f Z)=f R(X, Y) Z $
• 当 $ \nabla $ 的抗率 $T \equiv 0$ 时

$R(X, Y) Z+R(Z, X) Y+R(Y, Z) X=0$

其中 $ f \in C^{\infty}(M), Z \in \Gamma(T M) $

黎曼曲率张量的定义以及性质

对于黎曼流形$(M,g)$，它有唯一确定的Levi-Civita联络$\nabla$，它的曲率张量称为黎曼流形$(M,g)$的黎曼曲率张量.

设$(M,g)$ 是黎曼流形，对任意$X,Y,Z,W \in \Gamma(TM)$，令

$\mathcal{R}(X, Y, Z, W)=g(R(Z, W) X, Y)$

则得到一个四重线性映射

$\mathcal{R}(X, Y, Z, W)=g(R(Z, W) X, Y)$

它是$M$ 上的四阶协变张量场，称之为黎曼流形$(M,g)$ 的黎曼曲率张量场

设$(M,g)$ 是一个光滑的黎曼流形，则对任意$X,Y,Z,W \in \Gamma(TM)$，黎曼曲率张量场

$\mathcal{R}(X, Y, Z, W)=g(R(Z, W) X, Y)$

具有下面的性质：

• 反对称性

$\mathcal{R}(X,Y,Z,W) = -\mathcal{R}(Y,X,Z,W)$

$\mathcal{R}(X,Y,Z,W) = -\mathcal{R}(X,Y,W,Z)$

• 第一Bianchi恒等式

$\mathcal{R}(X,Y,Z,W) + \mathcal{R}(Z,Y,W,X) + \mathcal{R}(W,Y,X,Z) = 0$

• 对称性

$\mathcal{R}(X,Y,Z,W) = \mathcal{R}(Z,W,X,Y)$

**在三维光滑流形$M = \mathbb{R}^3$ 上，令$\alpha = dx^1 - x^1 dx^2 \in \Omega^1(M), \beta = x^2dx^1 \wedge dx^3 - dx^2 \wedge dx^3 \in \Omega^2(M)$ ，计算 $d \alpha, d \beta$ 以及 $\alpha \wedge \beta$ **

$d \alpha = -dx^1 \wedge dx^2 \qquad d \beta = dx^2 \wedge dx^1 \wedge dx^3$

$\begin{aligned} \alpha \wedge \beta &= -dx^1 \wedge dx^2 \wedge dx^3 - x^1 dx^2 \wedge x^2 dx^1 \wedge dx^3 \\ &= (x^1 x^2 -1)dx^1 \wedge dx^2 \wedge dx^3 \end{aligned}$

在$R^3$ 上定义三个光滑向量场如下：

$X=y \frac{\partial}{\partial x} - x \frac{\partial}{\partial y}, \quad Y=z \frac{\partial}{\partial y}-y \frac{\partial}{\partial z},\quad Z=\frac{\partial}{\partial x} +\frac{\partial}{\partial y} + 2\frac{\partial}{\partial z}$

求$[X,Y]$和$[Y,Z]$

$\begin{aligned} \left[X,Y\right] &= X(Y - Y(X \\ &= (y \frac{\partial}{\partial x} - x \frac{\partial}{\partial y})(z \frac{\partial }{\partial y}-y \frac{\partial }{\partial z}) - (z \frac{\partial}{\partial y}-y \frac{\partial}{\partial z})(y \frac{\partial}{\partial x} - x \frac{\partial}{\partial y}) \\ &= yz\frac{\partial ^2}{\partial x \partial y} - y^2 \frac{\partial ^2}{\partial x \partial z} - xz\frac{\partial ^2}{\partial y^2} + x \frac{\partial }{\partial z} + xy\frac{\partial ^2}{\partial y \partial z}\\ &- (z \frac{\partial }{\partial x} + zy\frac{\partial ^2}{\partial y \partial x} - zx \frac{\partial ^2}{\partial y^2} - y^2\frac{\partial ^2}{\partial z \partial x} + yx\frac{\partial ^2}{\partial z \partial y}) \\ &= x \frac{\partial }{\partial z} - z \frac{\partial }{\partial x} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \left[Y,Z\right] &= (z \frac{\partial}{\partial y}-y \frac{\partial}{\partial z})(\frac{\partial}{\partial x} +\frac{\partial}{\partial y} + 2\frac{\partial}{\partial z}) -(\frac{\partial}{\partial x} +\frac{\partial}{\partial y} + 2\frac{\partial}{\partial z})(z \frac{\partial}{\partial y}-y \frac{\partial}{\partial z}) \\ &= z\frac{\partial ^2}{\partial y \partial x} + z \frac{\partial ^2}{\partial y^2} + z \frac{\partial ^2}{\partial y \partial z} - y \frac{\partial ^ 2}{\partial z \partial x} - y\frac{\partial ^2}{\partial z \partial y} - y \frac{\partial ^ 2}{\partial z^2}\\ &- (z\frac{\partial}{\partial x \partial y} - y \frac{\partial ^2}{\partial x \partial z} + z \frac{\partial ^2}{\partial y^2} - \frac{\partial}{\partial z} - y \frac{\partial ^ 2}{\partial y \partial z} + \frac{\partial}{\partial y} + z \frac{\partial ^2}{\partial z \partial y} - y \frac{\partial ^ 2}{\partial z^2})\\ &= \frac{\partial}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial y} \end{aligned}$